大学生数学竞赛笔记

• 常见不定积分公式

• 多元函数积分学
  • 曲线积分与曲面积分
    • 第一类曲线积分
    • 第一类曲面积分
    • 第二类曲线积分
• 无穷级数
  • 数项级数
    • 判定收敛的法则
  • 函数项级数
    • 幂级数及收敛性
• 微分方程
  • 一阶微分方程
    • 一阶线性方程
    • 伯努利方程
    • 全微分方程
    • 可降阶的高阶方程
    • 常系数齐次线性微分方程
    • 常系数齐次线性微分方程算子解法

常见不定积分公式

1. $$\int\sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm dx=\frac 1 2(x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|)$$

2. $$\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx=\frac 1 2(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin \frac x a)$$

多元函数积分学

曲线积分与曲面积分

第一类曲线积分

1. （定理）对直角坐标系，若C的参数方程为

$$\begin{cases} x=x(t), \\ y=y(t), \end{cases}\text{ }\alpha\leq t\leq\beta$$

则$\int_Cf(x,y)\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}\mathrm{d}t$；

对极坐标系，若$C$的参数方程为$r=r(\theta)$，

$$\begin{cases} x=r(\theta)\cos(\theta), \\ y=r(\theta)\sin(\theta), \end{cases}$$

代入公式（1）得到。

第一类曲面积分

1. （定理）设曲面$S: z=z(x,y),(x,y)\in D$，则

$$\iint_Sf(x,y,z)=\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

若曲面为双参方程$\begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases}(u,v)\in D,$设$\vec n=(x_u,y_u,z_u)\times (x_v,y_v,z_v)\triangleq(A,B,C)$，则有

$$\mathrm{d} S=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d} u\mathrm{d} v.$$

第二类曲线积分

1. （定义）当点沿区域D边界朝一个方向前进时，D总在其左手侧，规定此方向为区域D诱导的边界正向，记为$\partial D^+$。
2. （定理）若定向曲线L的方程为
   $\begin{cases} x=x(t), \\ y=y(t), \end{cases} t:\alpha\rightarrow\beta$,
   则 $\int_LP\mathrm d x+Q\mathrm d y=\int_\alpha^\beta[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]\mathrm d t$.
3. （定理，Green公式）

$$\oint_{\partial D^+}P\mathrm d x+Q\mathrm d y=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm d x \mathrm d y.$$

$$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v), (u,z)\in D$$

则

$$\iint_SP\mathrm d y\mathrm d z+Q \mathrm d z\mathrm d x+R\mathrm d x\mathrm d y=\pm\iint_D(PA+QB+RC)\mathrm d u\mathrm d v.$$

若曲面$S$的方程为$z=z(x,y),(x,y)\in D$，则

$$\iint_SP\mathrm d y\mathrm d z+Q \mathrm d z\mathrm d x+R\mathrm d x\mathrm d y=\pm\iint_D(-Pz_x-Qz_y+R)\mathrm d x\mathrm d y.$$

其中正负号由$S$指定侧的法向量决定。

3. （定理，Gauss公式）

$$\oiint_{\partial \Omega^+}P\mathrm d y\mathrm d z+Q \mathrm d z\mathrm d x+R\mathrm d x\mathrm d y=\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm d V$$

4. （定理，Stokes公式）

$$\small \oint_{\partial S}p\mathrm d x+Q\mathrm d y+R\mathrm d z=\iint_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathrm d y\mathrm d z+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial s})\mathrm d z\mathrm d x+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm d x\mathrm d y$$

也可以写为行列式形式：

无穷级数

数项级数

（定义）给定常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ ，称 $S_n=\sum_{k=1}^n u_k$ 为它的部分和。若存在极限 $S=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n$ ，则称之为该级数的和，此时该级数是收敛的。若极限不存在，则该级数为发散的。

判定收敛的法则

1. （交错级数、莱布尼兹判别法）设$u_n>0$，称 $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$ 为交错级数。
   如果数列$u_n$满足：单调减少、$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=0$，则交错级数收敛，且其和$S\leq u_1$。

以下为正向级数判断收敛的法则：

2. 正向级数收敛等价于他的部分和数列 $S_n$ 有界；
3. （不等式判别法）设有两个正向级数，且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l$ 。于是$0<l<\infty$时，两个级数收敛性相同。
4. （比值判别法）若正项级数满足 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ，则$\rho<1$时，该级数收敛；$\rho>1$时该级数发散；
5. （根值判别法）若正项级数满足 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则 $\rho<1$ 时，该级数收敛；$\rho>1$ 时该级数发散。
6. （绝对收敛与条件收敛）若级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lvert u_n\rvert$收敛，则其绝对收敛；若级数收敛但绝对值级数发散，称之为条件收敛。

函数项级数

幂级数及收敛性

1. （定理，阿贝尔定理）若$x_0$为幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛点，则对于 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$ ，该幂级数都绝对收敛，反之亦然。
2. 收敛半径的求法：对幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ ,

• 若 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\rho$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$，则收敛半径$R=\frac 1 \rho.$
• 收敛区间 $(-R,R)$ 加上两个端点的判断得到幂级数的收敛域。

3. 幂级数的性质
   设幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$收敛半径为 $R$，和函数为 $S(x)$ ，则有：

• $S(x)$ 在收敛域上连续，
• $S(x)$ 逐项可积、逐项可导，并且新幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，
• 幂级数加减运算的结果仍是幂级数，它的收敛半径至少为 $\min(R_a, R_a)$，
• $\sum_{n=0}^\infty(a_nb_0+a_{n-1}b_1+...+a_0b_n)x^n$称为两个幂级数的乘积，他在 $|x|<\min(R_a, R_a)$时收敛，且

$$\sum_{n=0}^\infty(a_nb_0+a_{n-1}b_1+...+a_0b_n)x^n=(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)$$

4. 常见麦克劳林级数

• $$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n x^n,x\in(-1,1]$$

• $$(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n,x\in(-1,1)$$

• $$\sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1},x\in (-\infty,\infty)$$

• $$\cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},x\in (-\infty,\infty)$$

微分方程

一阶微分方程

一阶线性方程

1. 标准形式： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).$
2. 通解：$y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}(\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C).$

伯努利方程

1. 标准形式：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^\alpha$.
2. 解法：两端同除 $y^\alpha$，再另 $z=y^{1-\alpha}$可化为一阶线性方程

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-\alpha)P(x)z=(1-\alpha)Q(x)$$

全微分方程

1. 标准形式：$M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$ 的左端为二元函数 $u(x,y)$ 的全微分，则其通解为 $u(x,y)=C$。
2. 判断标准：$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$.
3. 解法：

• 将 $y$ 视为常数，则 $u(x,y)=\int M(x,y)\mathrm{d}x+\psi(y)$；
• $N(x,y)=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial \int M(x,y)\mathrm{d}x+\psi(y)}{\partial y}$，由此解出 $\psi(y)$即可。

可降阶的高阶方程

1. 形如 $F(x,y',y'')=0$ 的方程，令 $y'=p(x)$，则可化为一阶方程 $F(x,p,p')=0$.
2. 形如 $F(y,y',y'')=0$ 的方程，令 $y'=p(x)$，则可化为一阶方程 $F(y,p,p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y})=0$.

常系数齐次线性微分方程

常系数齐次线性微分方程算子解法